设a,b,c是实数,满足abc=1,证明:2a-(1/b),2b-(1/c),2c-(1/a)中最多有两个数大于1
人气:308 ℃ 时间:2019-11-10 17:46:03
解答
由 abc=1,可知a,b,c中可以有两个是负数,此时结论显而易见,以下证明三个均为正数时的情况用反证法
假设2a-(1/b)=2a-ac>1,2b-(1/c)=2b-ab>1,2c-(1/a)=2c-bc>1
就2a-ac>1则:1-2a+ac<0,现在考虑一个抛物线:y=x²-2ax+ac
因为x=1代入抛物线式子中有y=1-2a+ac<0
所以该抛物线经过x轴下方一点,所以开口向上抛物线与x轴必有两个不同交点,△>0
所以4a²-4ac>0 ,
a²>ac
同理b²>ab
c²>bc
三个式子相乘:
a²b²c²>a²b²c²
即1>1
不成立,矛盾,所以假设错误.
因此2a-(1/b),2b-(1/c),2c-(1/a)中最多有两个数大于1
(简单题只能用初等方法解决,高等方法偏导听不懂,也解决不了)
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