如图，AB，CD是⊙O的直径，点E在AB延长线上，FE⊥AB，BE=EF=2，FE的延长线交CD延长线于点G，DG=GE=3，连接_数学解答

如图，AB，CD是⊙O的直径，点E在AB延长线上，FE⊥AB，BE=EF=2，FE的延长线交CD延长线于点G，DG=GE=3，连接FD．

（1）求⊙O的半径；
（2）求证：DF是⊙O的切线．

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解答

（1）设⊙0半径为R，则OD=OB=R，
在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得：OG²=OE²+EG²，
∴（R+3）²=（R+2）²+3²，
R=2，
即⊙O半径是2．
（2）证明：∵OB=OD=2，
∴OG=2+3=5，GF=2+3=5=OG，
∵在△FDG和△OEG中

FG＝OG

∠G＝∠G

EG＝DG

∴△FDG≌△OEG（SAS），
∴∠FDG=∠OEG=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．