∵xyz＞0且2003x³=2004y³=2005z³∴x,y,z＞0
设2003x³=2004y³=2005z³=1/k(k＞0)
则1/2003x³=1/2004y³=1/2005z³=k
1/x=(2003k)^(1/3),1/y=(2004k)^(1/3),1/z=(2005k)^(1/3)
∴1/x+1/y+1/z
=[2003^(1/3)+2004^(1/3)+2005^(1/3)]*k^(1/3)
=(2003x²+2004y²+2005z²)^(1/3)*k^(1/3)
=(2003kx²+2004ky²+2005kz²)^(1/3)
=(1/x+1/y+1/z)^(1/3)
∴1/x+1/y+1/z=1或-1
又∵xyz＞0且x,y,z＞0
∴1/x+1/y+1/z＞0
∴1/x+1/y+1/z=1