∵一元二次方程x²-2010x+1=0的一个根是a，
∴a²-2010a+1=0，
∴a²-2009a=a-1，a²+1=2010a，
则a2−2009a+

2010

a2+1

=a-1+

1

a

=

a2+1 −a

a

=

2010a−a

a

=2009；
故答案为：2009．