重复利用 x^2+y^2>=2xy 可以得到
3(a^2+b^2+c^2+d^2)>=2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)
===>
(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)
>= 8/3 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)
原不等式左边=a^2/(a(b+2c+3d))+b^2/(b(c+2d+3a))+c^2/(c(d+2a+3b))+d^2/(d(a+2b+3c))
>= (a+b+c+d)^2 / (4( (ab+ac+ad+bc+bd+cd)) ---- 权方和不等式
>=8/3 (ab+ac+ad+bc+bd+cd) / (4( (ab+ac+ad+bc+bd+cd))
=2/3