A(n+1)=1/(1+1/An)
A(n+1)=An/(An+1)
A(n+1)An+A(n+1)=An;
A(n+1)An=An-A(n+1);
A1A2+A2A3+A3A4+.+A2009A2010
=A1-A2+A2-A3+A3-A4+...+A2009-A2010;
=A1-A2010;
=1-A2010;
A(n+1)An=An-A(n+1);
1=1/A(n+1)-1/An;
Bn=1/An;是公差为1的等差数列；
所以Bn=B1+(n-1)*1
1/An=1/A1+(n-1)=n;
An=1/n;
A1A2+A2A3+A3A4+.+A2009A2010=1-A2010=1-1/2010=2009/2010