因为f(x)＝

1

x2+4x+3

＝

1

(x+1)(x+3)

＝

1

2(1+x)

−

1

2(3+x)

＝

1

4(1+ x−1 2 )

−

1

8(1+ x−1 4 )

，
又因为

1

1+x

=

∞

n＝0

(−1)nxn，-1＜x＜1，
故在−1＜x＜3中，

1

4(1+ x−1 2 )

＝

1

4

∞

n＝0

(−1)n

2n

(x−1)n，
在−3＜x＜5中，

1

8(1+ x−1 4 )

＝

1

8

∞

n＝0

(−1)n

4n

(x−1)n，
再注意到（-1，3）∩（-3，5）=（-1，3），
因此，f(x)＝

1

x2+4x+3

＝

∞

n＝0

(−1)n(

1

2n+2

−

1

22n+3

)(x−1)n，（-1＜x＜3）．