f(x)=arcsinx,求f(0)的n阶导数.
人气:283 ℃ 时间:2019-10-19 06:06:43
解答
如果学过幂级数,就用幂级数的知识解决.下面给个不用幂级数的方法.
y'=1/根号(1-x^2),因此
(y')^2*(1-x^2)=1,求导得
2y'y''(1-x^2)+(y')^2(-2x)=0,由于y'不等于0,故有
y''(1-x^2)-xy'=0.求n次导数,利用Leibniz定理得
y^(n+2)+n*y^(n+1)(-2x)+n*(n-1)/2*y^(n)(-2)-xy^(n+1)-ny^(n)=0.
令x=0得y^(n+2)(0)=n^2*y^(n)(0).
然后利用上面的递推关系式以及y(0)=0,y'(0)=1,可以得到
y^(2n)(0)=0,y^(2n+1)=(2n-1)(2n-3)...1=(2n-1)!.
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