如图，将正四面体补形成一个正方体，
∵表面积为4

3

的正四面体，
正四面体棱长为A，

3

4

a2=

3

，解得a=2，
∴正方体的棱长是

2

，
又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，
∴2R=

6

，
∴R=

6

2

，
∴球的体积为

4

3

π(

6

2

)3=

6

π．
故选：C．