证明对任意正数a,b,c,有abc^3
人气:417 ℃ 时间:2019-11-16 14:44:37
解答
这是Lagrange乘子法的典型应用.
考虑f(x,y,z)=x^2y^2z^6在条件x^2+y^2+z^2=5R^2下的最大值问题.只考虑x,y,z大于0的情况,设a是乘子,
令F(x,y,z,a)=f(x,y,z)+a(x^2+y^2+z^2--5R^2),考虑偏导数为0的三个方程,容易得出结论:
x^2=y^2=z^2/3,于是容易知道最大值点在x=R,y=R,z=根号(3)R达到,即有
x^2y^2z^5
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