（1）∵圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=4，
∴圆心C（1，2），半径r=2，
①当过M点的直线的斜率不存在时，方程为x=3，
由圆心C（1，2）到直线x=3的距离d=3-1=2=r知，此时直线与圆相切．
②当直线的斜率存在时，设方程为y-1=k（x-3），即kx-y+1-3k=0．
根据题意，可得

|k−2+1−3k|

k2+1

=2，解得k=

3

4

，此时切线方程为y-1=

3

4

（x-3），即3x-4y-5=0
综上所述，过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0．
（2）由题意，直线ax-y+4=0到圆心的距离等于半径，
可得

|a−2+4|

a2+1

＝2，解之得a=0或

4

3

．