函数f(x)=x^2+2ax+3,x∈(-4,4).⑴当a=-1时,求函数f(x)的值域 ⑵函数在(-4,4)上有零点,求a的范围
人气:223 ℃ 时间:2020-04-08 04:47:58
解答
⑴当a=-1时:
f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2≥2
开口向上,对称轴x=1在区间(-4,4)之间
x=1时有极小值2
f(-4)=5^2+2=27
f(4)=3^2+2=11
f(x)在区间(-4,4)上的值域[2,27)
⑵
f(x)=x^2+2ax+3有零点,
判别式=(2a)^2-4*3=4a^2-12≥0
a≤-根号3,或≥根号3.(1)
x=[-2a±2根号(4a^2-12)]/2=-a±根号(a^2-3)
f(x)=x^2+2ax+3在(-4,4)上有零点,所以:
-4≤=-a-根号(a^2-3)≤4.(2)
或者
-4≤=-a+根号(a^2-3)≤4.(3)
由(2)得:
根号(a^2-3)≤4-a,-3≤16-8a,a≤19/8
根号(a^2-3)≥-(4+a),-3≥16+8a,a≤-19/8
∴a≤-19/8
由(3)得:
根号(a^2-3)≥a-4,-3≥-8a+16,a≥19/8
根号(a^2-3)≤4+a,-3≤16+8a,a≥-19/8
∴a≥19/8
a≤-19/8和a≥19/8均满足(1)的要求,所以:
a≤-19/8和a≥19/8
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