因为(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)(A^2-B^2-C^2)=0成立所以有
1.A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA=0或2.A^2-B^2-C^2=0
易知2.的情况下满足勾股定理,该三角形是直角三角形.
1.式两边同时乘以2,得2A^2+2B^2+2C^2-2AB-2BC-2CA=0
左边=(A^2-2AB+B^2)+(B^2-2BC+C^2)+(C^2-2CA+A^2)=(A-B)^2+(B-C)^2+
(C-A)^2=0
而(A-B)^2 ,(B-C)^2 ,(C-A)^2均不小于0,故这三个式子都等于0
所以得出A=B=C,该三角形为等边三角形.
所以△ABC为等边三角形或直角三角形