已知f(x)=a1x+a2x^2+…+anx^n,则a1,a2,…an组成等差数列,f（1）=n^2,an=2n-1比较f(1/2_数学解答

已知f(x)=a1x+a2x^2+…+anx^n,则a1,a2,…an组成等差数列,f（1）=n^2,an=2n-1
比较f(1/2)与3的大小,并说明理由

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解答

f(1)=a1+……+an=n^2
a1=1,a2=3,……,an=2n-1
f(1/2)=S=1*(1/2)+3*(1/2)^2+……+(2n-1)*(1/2)^n
2S=1+3*(1/2)+……+(2n-1)*(1/2)^(n-1)
所以f(1/2)=S=2S-S=1+2*(1/2)+2*(1/2)^2+……+2*(1/2)^(n-1)-(2n-1)*(1/2)^n
=1+2*(1/2)*[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)-(2n-1)*(1/2)^n
=3-(1/2)^(n-1)-(2n-1)*(1/2)^n<3