任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则由于f（x）在R上是增函数，g（x）在R上是减函数，
有f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＞g（x₂），
∴F（x₁）-F（x₂）=[f（x₁）-g（x₁）]-[f（x₂）-g（x₂）]
=[f（x₁）-f（x₂）]-[g（x₁）-g（x₂）]
＜0，
∴F（x₁）＜F（x₂）
∴函数F（x）在R上是增函数．