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数学
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椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
的内接矩形的面积的最大值为______.
人气:231 ℃ 时间:2020-05-27 03:55:41
解答
由题意的方程可知:矩形的对角线的斜率存在.
设椭圆内接矩形一条对角线的方程为y=kx,不妨设k>0.
联立
y=kx
x
2
4
+
y
2
=1
,
化为(1+4k
2
)x
2
=4,取第一象限的顶点A(x,y),
解得
x=
2
1+4
k
2
,∴
y=
2k
1+4
k
2
.
∴内接矩形的面积S=2x•2y=4xy=4×
4k
1+4
k
2
=
16
1
k
+4k
≤
16
2
1
k
•4k
=4.当且仅当k=
1
2
上取等号.
故椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
的内接矩形的面积的最大值为4.
故答案为:4.
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