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数学
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当x>0时,证明:不等式e
x
>1+x+
1
2
x
2
成立.
人气:129 ℃ 时间:2020-04-23 05:02:59
解答
证明:令
f(x)=
e
x
−1−x−
1
2
x
2
,
则f'(x)=e
x
-1-x,
再令g(x)=f'(x),则g'(x)=e
x
-1,
∵x>0,∴e
x
-1>0,即g'(x)>0,
∴g(x)在[0,+∞)上为增函数,
由于x>0,则g(x)>g(0)=e
0
-1=0,即f'(x)>0,
∴f(x)在[0,+∞)上为增函数,
由x>0知,
f(x)>f(0)=
e
0
−1−0−
1
2
×
0
2
=0
,
即e
x
-(1+x+
1
2
x
2
)>0,
∴e
x
>1+x+
1
2
x
2
,得证.
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