圆C：x²+y²+4x-12y+24=0可化为（x+2）²+（y-6）²=16，
∴圆心C（-2，6），半径为4．
当直线的斜率不存在时，x=0，则y=6±2

3

，此时直线被圆C截得的线段长为4

3

，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y=kx+5，即kx-y+5=0，
∵直线被圆C截得的线段长为4

3

，
∴圆心到直线的距离d=

|−2k−6+5|

k2+1

=

16−(2 3 )2

，
∴k=

3

4

，
∴l的方程为3x-4y+20=0．
综上，l的方程为3x-4y+20=0或x=0．
故选C．