已知点（1，m）在直线x=1上；由f'（x）=3x²-3=0得两个极值点x=±1；
由f''（x）=6x=0；得一个拐点x=0；
在（-∞，0）f（x）上凸，在（0，+∞）f（x）下凸；
切线只能在凸性曲线段的外侧取得，在拐点x=0处有一条上凸和下凸部分的公共切线L其斜率k=f'（0）=-3，方程为：y=-3x；L与直线x=1的交点为（1，-3）
设过点（1，m）的直线为l
当m＞-2时，l与函数f（x）上凸部分相切且有两条切线，l与下凸部分只能相交；
当m＜-3时，l与f（x）下凸部分相切且有两条切线，l与上凸部分只能相交；
当-3＜m＜-2时，l与f（x）下凸部分相切且有两条切线，l与上凸部分也相切但只有一条，共3条；其中，当m=-3时下凸部分的切线之一与上凸部分的切线重合，共有2条
所以m的取值范围是-3＜m＜-2
故答案为：（-3，-2）