若a>0,b>0,c>0.M=(a^3+b^3+c^3)/(a+b+c),N=(a^2+b^2+c^2)/3,则M,N的大小关系为_数学解答

若a>0,b>0,c>0.M=(a^3+b^3+c^3)/(a+b+c),N=(a^2+b^2+c^2)/3,则M,N的大小关系为

人气：336 ℃　时间：2020-09-10 02:55:01

解答

3(a³+b³+c³)
=(a³+b³+c³)+2(a³+b³+c³)
=(a³+b³+c³)+(a³+b³+b³)/3+(b³+c³+c³)/3+(c³+a³+a³)/3+(a³+a³+b³)/3+(b³+b³+c³)/3+(c³+c³+a³)/3
≥(a³+b³+c³)+ab²+bc²+ca²+a²b+b²c+c²a
=(a²+b²+c²)(a+b+c)
故
(a³+b³+c³)/(a+b+c)≥(a²+b²+c²)/3
M≥N
如仍有疑惑,欢迎追问.祝：=(a³+b³+c³)+(a³+b³+b³)/3+(b³+c³+c³)/3+(c³+a³+a³)/3+(a³+a³+b³)/3+(b³+b³+c³)/3+(c³+c³+a³)/3≥(a³+b³+c³)+ab²+bc²+ca²+a²b+b²c+c²a？这个利用的是三项的平均值不等式a³+b³+c³≥3abc