储备知识：
基本不等式：(a+b)²≥4ab
因为a+c=2b
所以4b²=(a+c)²≥4ac
即 b²≥ac
因为a²+b²+c²=84
所以 (a²+2ac+c²)+b²=84+2ac
(a+c)²+b²=84+2ac
4b²+b²=84+2ac
5b²=84+2ac
b²=(84+2ac)/5
因为b是正整数,a,c也是正整数
所以84+2ac一定是 一个正整数的平方×5的形式,且大于84
比如 5²×5=125,6²×5=180……
又因为b²=(84+2ac)/5≥ac
所以 84+2ac≥5ac
3ac≤84
ac≤28
2ac≤56
84+2ac≤140
所以84+2ac=125
当84+2ac=125时,b=5
综上所述,b的值5