（1）由f（x）=a^x-a+1，知令x=a，则f（a）=2，
所以f（x）恒过定点（a，2），
由题设得a=3；
（2）由（1）知f（x）=3^x-3+1，
将f（x）的图象向下平移1个单位，得到m（x）=3^x-3，
再向左平移3个单位，得到g（x）=3^x，
所以函数g（x）的反函数h（x）=log₃x．
（3）[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2，即[log₃x+2]²≤log3x2+m+2，
所以(log3x)2+2log₃x+2-m≤0，
令t=log₃x，则由x²∈[1，9]得t∈[0，1]，
则不等式化为t²+2t+2-m≤0，
不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2 恒成立，等价于t²+2t+2-m≤0恒成立，
因为t²+2t+2-m=（t+1）²+1-m在[0，1]上单调递增，
所以t²+2t+2-m≤1²+2×1+2-m=5-m，
所以5-m≤0，解得m≥5．
故实数m的取值范围为：m≥5．