四边形BCEG是菱形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CEB=∠EBG，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠EBG，
∴∠CEB=∠CBE，
∴CB=CE，
∵EG∥BC，
∴四边形BCEG是平行四边形，
∴▱BCEG是菱形．