函数y=x

1

2

（x∈（0，+∞））为非奇非偶函数，不满足条件；
函数y=3^x为非奇非偶函数，不满足条件；
只有函数y＝x

1

3

既是奇函数，又是增函数，满足条件；
函数y=lg|x|为偶函数，不满足条件；
故选C