证明：设f（n）=1•n+2•（n-1）+3•（n-2）+…+（n-1）•2+n•1．
（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；
（2）设当n=k时等式成立，即1•k+2•（k-1）+3•（k-2）+…+（k-1）•2+k•1=

1

6

k（k+1）（k+2），
则当n=k+1时，
f（k+1）=1•（k+1）+2[（k+1）-1]+3[（k+1）-2]+…+[（k+1）-2]•3+[（k+1）-1]•2+（k+1）•1
=f（k）+1+2+3+…+k+（k+1）
=

1

6

k（k+1）（k+2）+

1

2

（k+1）（k+1+1）
=

1

6

（k+1）（k+2）（k+3）．
∴由（1）（2）可知当n∈N^*时等式都成立．