结论:  2/ln2+2/ln3+...+2/lnn>(3n^2-n-2)/(n(n+1))  (n>=2)
证明方法：分析法.

设a[1]=0,a[n]=2/ln(n)  (n>=2),前n项和S[n].  
b[n]的前n项和T[n],  T[n]=(3n^2-n-2)/(n(n+1))     [  ]内是数列的下标.

由(1) b[1]=0,  b[n]=T[n]-T[n-1]=...=4/(n(n+2))  (n>=2)  

由(1)(2)步,要证结论为真,只需证n>=2时,
a[n]>b[n],  即 2/ln(n)>4/(n(n+2))
上式为真,只需证n>=2时,ln(n^2)<n^2+n    （*）

构造函数f(x)=ln(x)-x+1,(x>0),  容易证明 x>1时,ln(x)<x-1

由(4) n>=2时,ln(n^2)<n^2-1
(*)式为真,只需证n>=2时,n^2-1<n^2+n , 即证-1<n    

由(5) n>=2时,-1<n  为真,得证.
 

      正式书写时,可把分析法转化为综合法,俗称“逆推顺证”
 
希望能对你有点帮助!