函数周期性与对称性的联系y=f（x）的图象关于直线x=a及x=b对称,则y=f（x）的周期为2|a-b|y=f（x）的图象关于直线_数学解答

函数周期性与对称性的联系
y=f（x）的图象关于直线x=a及x=b对称,则y=f（x）的周期为2|a-b|
y=f（x）的图象关于直线x=a及点（b,0）对称,则y=f（x）的周期为4|a-b|
y=f（x）的图象关于点（a,0）及点（b,0）对称,则y=f（x）的周期为2|a-b|
为什么?

人气：466 ℃　时间：2019-12-26 04:07:07

解答

（1）
f(x)关于x=a对称
所以f(x)=f(2a-x)
f(x)关于x=b对称
所以f(x)=f(2b-x)
于是f(2a-x)=f(2b-x)
令X=2b-x,那么f(X+2(a-b))=f(X)
所以周期为2|a-b|
（2）
f(x)关于x=a对称
所以f(x)=f(2a-x)
f(x)关于(b,0)对称
所以(x,y),(2b-x,-y)都在图像上
即f(x)=-f(2b-x)
所以f(2a-x)=-f(2b-x)
令X=2a-x
那么f(X)=-f[X+2(b-a)]=-{-f[X+2(b-a)+2(b-a)]}=f(X+4(b-a))
所以周期为4|a-b|
（3）
f(x)关于(a,0)对称
所以f(x)=-f(2a-x)
f(x)关于(b,0)对称
所以f(x)=-f(2b-x)
所以-f(2a-x)=-f(2b-x)
即f(2a-x)=f(2b-x)
参照（1）知,周期为2|a-b|