4x ≤ f(x) ≤ 2(x^2 + 1) 即
ax^2 + (b-4)x + c ≥ 0 [1]
(2-a)x^2 - bx + (2-c) ≥ 0 [2]
注意[1][2]都是恒成立的,所以a > 0且2 - a > 0,因为a是正整数,所以a = 1.
[1][2]变为
x^2 + (b-4)x + c ≥ 0 [3]
x^2 - bx + (2-c) ≥ 0 [4]
[3][4]恒成立的条件是它们的Δ都≤0.
Δ3 = (b-4)^2 - 4c ≤ 0,
Δ4 = b^2 - 4(2-c) ≤ 0,
即
(b-4)^2 ≤ 4c ≤ 8 - b^2.[5]
再看看(b-4)^2和8-b^2之间到底相差多少.
8 - b^2 - (b-4)^2 = -2b^2 + 8b - 8 = -2(b-2)^2 ≥ 0,所以b = 2.
这样,[5]变为
4 ≤ 4c ≤ 4,所以c = 1.
代入验证,f(x) = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2,满足所有条件.