设F1,F2是双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 （a>0,b>0）的两个焦点.点P在双曲线上,若向量PF1*向量_数学解答

设F1,F2是双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 （a>0,b>0）的两个焦点.点P在双曲线上,若向量PF1*向量PF2=0 且（向量PF1的模）*（向量PF2的模）=2ac则双曲线离心率为?

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解答

利用焦半径公式,不妨考虑P在右支上,则
PF1= ex-a,PF2=a+ex.由已知得
e2x2-a2=2ac （1）
内积 PF1PF2=0说明F1PF2是直角
（ex-a）2+（ex+a）2=4c2
即e2x2+a2=2c2 （2）
由（1）（2）有
a2+ac=c2,除以a2：
e2 -e-1=0.取正根e=（1+根5）/2.