已知向量a1,a2,a3为方程组AX=0向量的基础解系,试证明a1+a2,a2+a3,a3+a1也为该方程组的基础解系
人气:434 ℃ 时间:2020-05-19 03:55:19
解答
a1为方程组AX=0向量的解
说明A*a1=0
同理A*a2=A*a3=0
所以A*(a1+a2)=A*a1+A*a2=0
所以a1+a2也为该方程组的解
同理a2+a3和a1+a3也为该方程组的解
但是并不是随便3个解都能组成基础解系,还要满足线性无关
我们已经知道矩阵(a1,a2,a3)是无关的,那么
(a1+a2,a2+a3,a3+a1)
=(a1,a2,a3)*
| 1 0 1 |
| 1 1 0 |
| 0 1 1 |
后面的矩阵不等于0,所以矩阵(a1+a2,a2+a3,a3+a1)也无关
所以a1+a2,a2+a3,a3+a1也为该方程组的基础解系
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