设a是实数,f(x)=1/((3^x)+1)+a,(1)试证明:对于任意a,f(x)在R为减函数(2)试确定a的值,使f(x)为奇函数
人气:393 ℃ 时间:2019-10-17 04:43:46
解答
(1)设x1和x2在f(x)定义域内,且x1f(x1)-f(x2)=1/((3^x1)+1)+a-1/((3^x2)+1)-a=1/((3^x1)+1)-1/((3^x2)+1)
=(3^x2-3^x1)/[(3^x1+1)(3^x2+1)]
∵x1所以f(x1)-f(x2)=(3^x2-3^x1)/[(3^x1+1)(3^x2+1)]>0
所以f(x)在R为减函数
(2)若f(x)为奇函数,则f(0)=1/(1+1)+a=0
解得a=-1/2
此时f(x)=1/(3^x+1)-1/2
f(-x)=1/(3^-x+1)-1/2=3^x/(3^x+1)-1/2=1/2-1/(3^x+1)=-f(x)f(x)为奇函数
所以a=-1/2
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