分两种情况：
（1）P点在AB上时，如图，
∵AB=AC=12cm，BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×6=3cm，
设P点运动了t秒，则BP=t，AP=12-t，由题意得：
BP+BD=

1

2

（AP+AC+CD）或

1

2

（BP+BD）=AP+AC+CD，
∴t+3=

1

2

（12-t+12+3）①或

1

2

（t+3）=12-t+12+3②，
解①得t=7秒，解②得，t=17（舍去）；
（2）P点在AC上时，如图，
∵AB=AC=12cm，BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×6=3cm，P点运动了t秒，
则AB+AP=t，PC=AB+AC-t=24-t，
由题意得：BD+AB+AP=2（PC+CD）或2（BD+AB+AP）=PC+CD，
∴3+t=2（24-t+3）①或2（3+t）=24-t+3②
解①得t=17秒，解②得，t=7秒（舍去）．
故当t=7或17秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
故答案为：7或17．