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数学
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若函数
f(x)=
1
3
x
3
+
x
2
−ax
在区间(1,+∞)上单调递增,且在区间(1,2)上有零点,则实数a的取值范围是( )
A. (
4
3
,3)
B. (
4
3
,
10
3
)
C. (
4
3
,3]
D. (-∞,3]
人气:131 ℃ 时间:2019-10-23 04:49:56
解答
∵函数
f(x)=
1
3
x
3
+
x
2
−ax
在区间(1,+∞)上单调递增,
∴f′(x)=x
2
+2x-a在区间(1,+∞)上的值大小或等于0恒成立;
即x
2
+2x-a≥0在区间(1,+∞)上恒成立,
∴a≤x
2
+2x,x∈(1,+∞)恒成立.
∵当x>1时,x
2
+2x>3,
∴a≤3;①
∵函数
f(x)=
1
3
x
3
+
x
2
−ax
在区间(1,+∞)上单调递增,且在区间(1,2)上有零点,
∴f(1)<0,f(2)>0,
∴
4
3
<a<
10
3
;②
由①、②得:
4
3
<a≤3
.
故选:C
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