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数学
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抛物线焦点弦问题
已知抛物线的中点为原点,P大于0,焦点为F,过焦点的直线交抛物线于A、B两点,A、B两点在抛物线准线上的射影为A1、B1,连接A1B,AB1,问这两条直线是否都经过原点.
人气:122 ℃ 时间:2020-02-02 17:27:17
解答
不妨设抛物线方程为y^2=2px,
直线AB过焦点(p/2,0),可设为:x=ky+p/2
联立可得y^2-2kpy-p^2=0,
设 A(y1^2/(2p),y1),B(y2^2/(2p),y2),则B1(-p/2,y2)
∴ kOA=2p/y1,kOB1=-2y2/p
根据韦达定理可知:y1y2=-p^2,
∴kOA=KOB1,故A、O、B1三点共线(O为原点).
同理可证:B、O、A1三点共线(O为原点).
所以这两条直线是否都经过原点.
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