将y=x-c代入x²/a²-y²/b²=1,消去y整理得(b²-a²)x²+2a²cx-a²(c²+b²)=0,
因为直线y=x-c与双曲线左右支各有一个交点,所以上述方程有两个相异实根,
故-a²(c²+b²)/(b²-a²)a²,
所以e²=c²/a²=(a²+b²)/a²>2,
抛物线y²=4cx的准线方程是x=-c,将其代入双曲线x²/a²-y²/b²=1,
得c²/a²-y²/b²=1,解得y=±b²/a,
由题意得2b²/a=2√2be²/3,即b/a=√2e²/3,
两边平方得b²/a²=2e^4/9,即e²-1=2e^4/9,
2e^4-9z²+9=0,解得e²=3或e²=3/2(舍去)
所以e=√3.