求下列不定积分 ∫(arctan e^x)/(e^2x)dx
(-1/2)[e^-(2x)*arctane^x+arctane^x+e^(-x)]+C
我的解法是:原式= ∫(arctan e^x)/(e^x)d(1/e^x)
令1/e^x=t = ∫(arctan 1/t)/t dt
= (-1/2) ∫(arctan 1/t) d(t^2)
= (-1/2) [(t^2)(arctan 1/t) - ∫(t^2)d(arctan 1/t)]
= (-1/2) [(t^2)(arctan 1/t) + ∫(t^2)/(1+t^2)dt]
= (-1/2) [(t^2)(arctan 1/t) + ∫(t^2+1-1)/(1+t^2)dt
= (-1/2) {(t^2)(arctan 1/t) +∫1-[1/(1+t^2)]dt}
= (-1/2)[e^-(2x)*arctane^x-arctane^(-x)+e^(-x)]+C
不知道自己哪步算错了,和答案总是差一个数啊,是第一步换元有问题吗?
人气:131 ℃ 时间:2020-02-03 18:57:56
解答
∫(arctan e^x)/(e^x)d(1/e^x)
这里你少了1个负号吧
d(1/e^x)=-1/e^x恩,把负号提到前面去了。你好,你做的没问题,刚看了第一步就没看下去其实arctane^x+arctan^(-x)=1所以你的-arctane^(-x)=arctane^x-1和答案就是差一个常数1但是不定积分常数是没关系的
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