求级数∑(2n+1)x^n在其收敛区间内的和函数
人气:201 ℃ 时间:2020-01-30 21:35:20
解答
∑(∞,n→0)(2n+1)x^n
R=lim|2n-1/2n+1|=1
x=1时∑(∞,n→0)(2n+1)发散,
x=-1时∑(∞,n→0)(-1)^n(2n+1)也发散,
所以收敛域为(-1,1)
令s(x)=∑(∞,n→0)(2n+1)x^n=∑(∞,n→1)2nx^n+∑(∞,n→0)x^n
再令∑(∞,n→1)2nx^n=s1(x)
s1(x)=2x∑(∞,n→1)nx^(n-1)
=2x∑(∞,n→1)(x^n)'
=2x(∑(∞,n→1)x^n)'
=2x[x/(1-x)]'
=2x/(1-x)^2
而∑(∞,n→0)x^n=1/(1-x)
所以s(x)=2x/(1-x)^2+1/(1-x)=(1+x)/(1-x)^2
∑(∞,n→0)(2n+1)x^n=(1+x)/(1-x)^2,x属于(-1,1)很高兴再次为你解答高数题目
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