好题目!
先证明一个有用的结论：
AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)
证明：
过A作BC边上的高AE
因为:AE是高线
所以:AB^2=AE^2+BE^2=AE^2+(BM+ME)^2=AE^2+BM^2+2BM*ME+ME^2
AC^2=AE^2+EC^2=AE^2+(CM-ME)^2=AE^2+CM^2+2CM*ME+ME^2
因为:AM是中线
所以:BM=CM
所以:AB^2+AC^2=AE^2+BM^2+ME^2+AE^2+CM^2+ME^2
=2BM^2+2(AE^2+ME^2)
AE^2+ME^2=AM^2
所以:AB^2+AC^2=2BM^2+2AM^2=2(AM^2+BM^2)
所以 b^2+c^2=2(m^2+bm^2)=2(m^2+a^2/4)
=2m^2+a^2/2
所以2m^2=b^2+c^2-a^2/2
m=根号2/2*根号下（b^2+c^2-a^2/2）