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数学
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已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:(a+
1
a
)(b+
1
b
)≥
25
4
.
人气:327 ℃ 时间:2020-06-15 17:46:33
解答
因为已知a+b=1,a>0,b>0,
∴根据基本不等式a+b≥2
ab
,
∴0<ab≤
1
4
,
又
(a+
1
a
)(b+
1
b
)=
a
2
+1
a
⋅
b
2
+1
b
=
a
2
b
2
−2ab+2
ab
=
(1−ab)
2
+1
ab
≥
25
4
(取等号时a=b=
1
2
)
∴
(a+
1
a
)(b+
1
b
)≥
25
4
即得
(a+
1
a
)(b+
1
b
)≥
25
4
.
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