一道高数题求高人帮忙：已知级数∑(-1)^(n-1)*an=2,∑a2n-1=5,证明级数∑an收敛,并求此级数的和.
答案是这样给的：
因为∑(-1)^(n-1)*an=2,
所以∑(a2n-1-a2n)=2,且an→0
又因为∑a2n-1=5,
所以∑(a2n-1+a2n)=∑[2a2n-1-(a2n-1-a2n)]=8
设∑an的部分和为Sn,则
S2n=a1+a2+…+a2n-1+a2n
=(a1+a2)+...+(a2n-1+a2n)
是∑(a2n-1+a2n)的部分和
所以当n→+∞时,S2n=8
又因为S2n+1=S2n+a2n+1
所以当n→+∞时,S2n+1=8
所以当n→+∞时,Sn=8
所以∑an收敛且其和为8
但是,我看不懂这这道题答案的两个地方：
第一,感觉S2n=8和前面的一个定理有矛盾.
因为若级数∑a2n-1收敛,则当n→∞时,a2n=0
那S2n又等于8是为何?
第二,因为∑an可以看做是级数∑(a2n-1+a2n)去掉括号后的级数,而级数的基本性质5上说,当加括号后所得的新级数收敛时,则原级数未必收敛.
那为何答案在证出当n→+∞时,S2n=8=S2n+1时,为何后面直接得出了当n→+∞时,Sn=8的结论?