设A为3阶方阵,x1,x2,x3是A的三个不同特征值,对应特征向量分别为a1,a2,a3,令b=a1+a2+a3.证明b,Ab,A_数学解答

设A为3阶方阵,x1,x2,x3是A的三个不同特征值,对应特征向量分别为a1,a2,a3,令b=a1+a2+a3.
证明b,Ab,A^2b线性无关,若A^3b=3Ab-2A^2b,求A的特征值,并计算行列式A+E

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解答

首先要注意a1,a2,a3线性无关,然后 (b,Ab,A^2b)=(a1,a2,a3)*V,其中V=1 x1 x1^21 x2 x2^21 x3 x3^2是Vandermonde矩阵,由于x1,x2,x3互不相同,V非奇异,所以b,Ab,A^2b线性无关.0=A^3b-(3Ab-2A^2b)=(x1^3+2x1^2-3x1)a1+(x2...