由题意,πc²=π,c=1
又e=c/a=√2/2,1/a=√2/2,a=√2,a²=2,b²=a²-c²=2-1=1
∴椭圆的方程为x²/2+y²=1
由(1)可知,F2的坐标为（1,0）
设直线AB的直线方程为y=k(x-1)
联立x²/2+y²=1和y=k(x-1),消去y,得(1/2+k²)x²-2k²x+k²-1=0
x1+x2=2k²/(1/2+k²),y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=2k³/(1/2+k²)-2k
而AB中点的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）,即为（k²/(1/2+k²),k³/(1/2+k²)-k）
则线段AB的垂直平分线的直线方程为y=(-1/k)[x-k²/(1/2+k²)]+k³/(1/2+k²)-k
令y=0,解得x=k²/(1+2k²),即m=k²/(1+2k²)=1/2-1/(2+4k²)
∵k²≥0,∴2+4k²≥2,-1/(2+4k²)≦-1/2,1/2-1/(2+4k²)≤0,
则m的取值范围为（-∞,0]