在1—100这100个自然数中,任取21个.求证:一定存在四个数,其中有两个数之和等于另两个数之和.
我目前是初中水平,第一句就看不懂,请“不能细说”再说细点,
人气:390 ℃ 时间:2019-08-21 23:38:28
解答
【证明】21个数中,存在四个数A、B、C、D,满足A+B=C+D,也就是A-C=D-B,问题等价于,一定存在四个数,其中有两个数之差,等于另两个数之差!
反设不成立,也就是说,100内,能抽取21个数,使得任何两个数之差都不相同!(这些差可以是1,2,3,4,5,.)
而从1~100中抽取两两相邻数之差都不相同的最大集合是(两相邻之差依次递增){1、2、4、7、11、16、22、29、37、46、56、67、79、92}
总共是14个数,而21个数的话可以从中找到四个数m、n、s、t,使其中m-n=s-t
与反设矛盾!
因此命题得证!
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