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数学
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已知A、B、C为△ABC的三个内角,且其对边分别为a,b,c,这向量
m
=(cosB,sinC),
n
=(cosC,−sinB)
,且
m
•
n
=
1
2
.
(1)求内角A的大小;
(2)若a=2
3
,求△ABC面积S的最大值.
人气:118 ℃ 时间:2020-05-31 14:41:05
解答
(1)∵
m
•
n
=cosBcosC-sinBsinC=cos(B+C)=
1
2
,…(3分)
又A、B、C为三角形的三个内角,
∴B+C=60°,∴A=120°.…(7分)
(2)∵a=2
3
,a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA,
∴b
2
+c
2
+bc=12,…(10分)
又b
2
+c
2
≥2bc(当且仅当b=c时取“=”),
∴12≥3bc,
∴bc≤4…(12分)
∴S=
1
2
bcsinA=
3
4
bc≤
3
4
×4=
3
.…(13分)
∴当b=c时,三角形ABC的面积S的最大值为
3
.…(14分)
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