（2014•齐齐哈尔三模）设函数f（x）定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f（x）在[a，b]上_数学解答

（2014•齐齐哈尔三模）设函数f（x）定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么就称y=f（x）为“成功函数”.若函数g（x）=log_a（a^2x+t）（a＞0，a≠1）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围为（　　）
A. （0，+∞）
B. （-∞，0）
C. [0，

]
D. (0，

)

人气：452 ℃　时间：2020-02-03 12:30:01

解答

依题意，函数g（x）=log_a（a^2x+t）（a＞0，a≠1）在定义域上为单调递增函数，且t≥0，
而t=0时，g（x）=2x不满足条件②，
∴t＞0．设存在[m，n]，使得g（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，
∴

loga(a2m+t)＝m

loga(a2n+t) ＝n

，即

a2m+t＝am

a2n+t＝an

，
∴m，n是方程（a^x）²-a^x+t=0的两个不等实根，
∴△=1-4t＞0，
∴0＜t＜

，
故选D．