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数学
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(2014•齐齐哈尔三模)设函数f(x)定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数;②存在[a,b]⊆D使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],那么就称y=f(x)为“成功函数”.若函数g(x)=log
a
(a
2x
+t)(a>0,a≠1)是定义域为R的“成功函数”,则t的取值范围为( )
A. (0,+∞)
B. (-∞,0)
C. [0,
1
4
]
D. (0,
1
4
)
人气:413 ℃ 时间:2020-02-03 12:30:01
解答
依题意,函数g(x)=log
a
(a
2x
+t)(a>0,a≠1)在定义域上为单调递增函数,且t≥0,
而t=0时,g(x)=2x不满足条件②,
∴t>0.设存在[m,n],使得g(x)在[m,n]上的值域为[m,n],
∴
loga(a2m+t)=m
loga(a2n+t) =n
,即
a2m+t=am
a2n+t=an
,
∴m,n是方程(a
x
)
2
-a
x
+t=0的两个不等实根,
∴△=1-4t>0,
∴0<t<
1
4
,
故选D.
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