ABC为三角形,求证:[tan(A/2)]^2+[tan(B/2)]^2+[tan(C/2)]^2>=1
人气:199 ℃ 时间:2020-06-02 17:00:57
解答
∵(a-b)^2≥0,∴(a^2+b^2)/2≥ab.当且仅当a=b时,“=”成立.
同理,(b-c)^2≥0,(c-a)^2≥0,∴(b^2+c^2)/2≥bc,(c^2+a^2)/2≥ca
当且仅当b=c,c=a时,“=”成立.
三式相加,得:a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca,当且仅当a=b=c时,“=”成立.
即,当a=b=c时a^2+b^2+c^2最小.
此题,当[tan(A/2)]=[tan(B/2)]=[tan(C/2)]时
[tan(A/2)]^2+[tan(B/2)]^2+[tan(C/2)]^2最小.
即A/2=B/2=C/2=π/3时原式最小.
而当A/2=B/2=C/2=π/3时,[tan(A/2)]^2+[tan(B/2)]^2+[tan(C/2)]^2=1
∴[tan(A/2)]^2+[tan(B/2)]^2+[tan(C/2)]^2>=1
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