解∶连接PE
在△ABE和△CBP中,
BE=BP,∠ABE=∠CBP,AB=BC
∴△ABE≌△CBP(SAS)
又∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=90°
∴∠ABE+∠ABP=∠ABP+∠CBP=90°
∴∠EBP=∠ABC=90°
∴△BPE是等腰直角三角形
∴∠BPE=45°
∵∠APB=135°
∴∠APE=90°
在△BPE中,sin∠BPE=sin45°=BE∶PE=1:√2
∴PE=BE÷sin45°=√2BE
∵BE=BP,PA=2PB
∴PA=2BE
在Rt△APE中,根据勾股定理得
AE2=AP2+PE2=?BE2+2BE2=二分之三BE
∴AP=?PB=?BE
∴AP：AE=二分之一BE：二分之三BE
即 二分之一：二分之三=1:3