f(x)=0 if x 是有理数 =1 ifx是无理数 定义域 [0,1] 如何证明其在无理数上连续,有理数中不连续
从而使其满足勒贝格理论,证明其可以满足黎曼积分?求指导啊``` 有理数上不连续我可以证明出来,可无理数上的连续怎么证明?
人气:352 ℃ 时间:2019-08-22 17:02:32
解答
你的函数写错了吧,黎曼函数R(x)=1/q(x是既约分数p/q),=0(x是无理数)无理数上连续,有理数中不连续,从而黎曼可积.满足你给出的是狄利克雷函数,它在R上任一点都是间断的,不满足黎曼可积.嗯,是我想错了,现在如何证明它任意一点间断呢?语言论述任意有理数之间有无穷多个无理数,任意无理数之间有无穷多个有理数可以证明吗?还有就是黎曼函数R(x)=1/q(x是既约分数p/q),=0(x是无理数)现在刚开始接触测度论,我看的书上只提到这个函数很容易证得无理数上连续,有理数中不连续······可是怎么证呢······谢谢了狄利克雷那个好证,因为在R上不论是有理点还是无理点,它的”附近“都有无数个有理点和无理点,当x趋于该点时,序列an无限次的重复取有理数和无理数,而函数值f(xn)也就在0和1间无限次循环,故limxn不存在,所以狄利克雷函数在R上任一点都是它的第二类间断点。黎曼函数那个证明很麻烦,不是一两句能说清的,你可以看看数学分析的教材,一般都有。
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