设 z=x+yi（x，y∈R），
∵|z|=5，
∴x²+y²=25，①
又（3+4i）z=（3+4i）（x+yi）=（3x-4y）+（4x+3y）i是纯虚数，
∴3x-4y=0②，
且4x+3y≠0③
联立三个关系式①②③解得

x＝4 y＝3

或

x＝−4 y＝−3

，
∴z=4+3i或z=-4-3i．