用中值定理,证明不等式
当x>0时,e^x>e·x
人气:486 ℃ 时间:2020-02-06 12:03:44
解答
证明:
构造函数
f(t)=(e^t)-et.t>0.
求导f'(t)=(e^t)-e.
[[[1]]]
当0<x<1时,
在区间[x,1]上,由中值定理可得
f(1)-f(x)=(1-x)f'(ξ),(ξ∈(x,1))
∵0<x<ξ<1.
∴f'(ξ)=(e^ξ)-e<0.
∴(1-x)f'(ξ)<0
即f(1)-f(x)<0
∴f(x)>f(1)=0.
即当0<x<1时,恒有(e^x)-ex>0
即e^x>ex
[[[2]]]
当x=1时,显然有e^x=ex.
[[[3]]]
当x>1时.在区间[1,x]上,由中值定理可得
f(x)-f(1)=(x-1)f'(ξ),(1<ξ<x)
易知,f'(ξ)=(e^ξ)-e>0
∴(x-1)f'(ξ)>0
∴f(x)>f(1)=0
∴当x>1时,恒有(e^x)-ex>0
即e^x>ex
综上可知,原不等式成立
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